미분적분학 2-[10.1]

10.1 수열

 

수열(sequence)은 일정한 순서로 쓰여진 수의 나열이다. 

수열 \(a_n\) 에서 n을 충분히 크게 택해서 항 \(a_n\) 이 L에 근접하게 만들 수 있다면, 수열 \(a_n\)의 극한은 L이라고 하며 다음과 같이 나타낸다. $$\lim_{n \to \infty}a_n$$ 
\(\lim_{n \to \infty}a_n\)이 존재하면 수열은 수렴한다. 하고 그렇지 않으면 발산한다고 한다. 

# 수열 극한의 정의
임의의 ε > 0 에 대하여 이에 대응하는 N이 존재해서 n > N 일 때 ㅣ\(a_n - L \)ㅣ< ε 이 성립하면 수열 {\(a_n\)} 의 극한은 L이라 하고, 다음과 같이 나타낸다. 
$$\lim_{n \to \infty}a_n = L$$ 

ε을 아무리 작게 잡아도 \(a_{N+1}\) 이후의 모든 항들이 이 구간안에 놓이도록 하는 N이 존재함을 의미한다.

 

#정리

 $\lim_{x \to \infty}f(x)=L$ 이고 n이 정수일 때 f(n) = $a_n$ 이면 $\lim_{n \to \infty}a_n=L$

이다.

 

$n≥1$ 인 모든 n에 대해, $a_n<a_{n+1}$ , 즉 $a_1<a_2<a_3<...$ 일 때 수열 ${a_n}$을 증가수열이라고 한다. 
거꾸로면 감소수열이라고 한다. 이런 증가하거나 감소하는 수열을 단조수열이라고 한다.

n ≥ 1 인 모든 n에 대해 $a_n ≤ M$이 존재하면 수열  ${a_n}$ 은 위로 유계(bounded above)라 한다.


n ≥ 1 인 모든 n에 대해 $a_n ≥ M$이 존재하면 수열  ${a_n}$ 은 아래로 유계(bounded below)라 한다.

위로 유계인 동시에 아래로 유계인 수열을 유계수열(bounded sequence)이라 한다. 

# 단조수열이 반드시 수렴하는 것은 아니다. 하지만 단조수열 + 유계수열이면 반드시 수렴한다.

 

단조수열정리 : 모든 유계인 단조수열은 수렴한다.