미분적분학 2-[10.8~10.11]

10.8 거듭제곱급수 

​다음과 같은 형태의 급수를 거듭제곱급수라 한다. 

 

이 함수의 정의역은 급수가 수렴하는 x의 전체 집합이다. 

 

 

예제) $$\sum_{n=0}^∞n!x^{n+1}$$ 다음 식은 x가 어떤 값을 가질 때 수렴하는가? 

-> 비판정법을 이용한다. 

 

$$\lim_{n \to \infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\lim_{n \to \infty}{(n+1)}\left| x \right| $$ 

 

 

$$\sum_{n=0}^∞ c_n(x-a)^n$$

위 거듭제곱급수에 대해, 다음 세 가지 중 어느 하나만 가능하다. 

1. x=a 일 때만 수렴가능핟. 
2. 모든 x에 대해 수렴한다. 
3. 적당한 양수 R이 존재새서  ㅣx-aㅣ< R 이면 수렴하고, ㅣx-aㅣ> R 이면 발산한다.  

이 때 양수 R을 거듭제곱급수의 수렴 반지름이라고 한다. 수렴구간의 안이나 밖에 있다면 바로 수렴 유무를 판단 할 수 있다. 하지만 만약 

ㄷ딱 수렴 구간의 끝 점에 있다면 이 끝 점에서의 수렴 여부는 별도로 판정해야 한다. 

 

 

10.9 함수를 거듭제곱급수로 나타내기

이 절에서는 1)기하급수를 조작하거나, 2)급수를 미분 or 적분해서 어떤 형태의 함수들을 거듭제곱급수의 합으로 나타내는 방법을 살펴본다. 

 

알고 있는 함수를 왜 무수히 많은 항들의 합으로 나타내려고 할까? the reason is 기본 역도함수가 없는 함수를 적분하거나 미분방정식을 풀 때 OR  다항함수로 함수를 근사시킬 때 유용하다. 

 

$$\frac{1}{1-x}=1+x^2+x^3+x^4+…=\sum_{n=0}^∞ x^n $$

이 꼴을 응용하여 여러 함수들을 거듭제곱급수의 합으로 나타낼 수 있다. 
ex) $\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2[1-(-\frac{x}{2})]}$  

분모가 1이 아니더라도 응용이 가능하다. 
like $ \frac{x^3}{x+2} = x^3 \cdot \frac{1}{x+2}  = 1/2 \cdot x^3 - 1/4 \cdot x^4 + 1/8 \cdot x^5 + ...$ 

거듭제곱급수의 미분과 적분 : 거듭제곱급수의 항별 미분과 적분이 가능하다. 

x=0 을 대입하면 C를 구할 수 있다. 

 

또 막 $\int_{n+1}^{\infty} \frac{1}{1+x^7}\, dx$ 같은 거 적분하기 힘들 때 거듭제곱급수의 합으로 표현한 후 각각의 항을 적분해주면 구하기 쉽겠지!?

 

 

10.10 테일러 급수와 매클로린 급수 

앞 절에서는 몇 가지 특별한 종류의 함수들에 대해서만 거듭제곱급수 표현을 구할 수 있었다. 이 절에서는 보다 더 일반적으로 어떤 함수들이 거듭제곱급수 표현을 가지며, 어떻게 그런 표현을 가질 수 있는지 살펴본다. 

$f$ 가 거듭제곱급수로 나타낼 수 있는 임의의 함수라 하자. 

$f(x) = c_0+c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + c_4(x-a)^4+…$

이 때 각 계수 $c_n$이 어떻게 결정되는지 살펴보자. 

 

$$c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$

 

즉, $f$를 $a$에서 거듭제곱급수로 표현할 수 있다고 하면, 

$$f(x)=\sum_{n=0}^∞ c_n(x-a)^n,   \left| x-a \right| < R $$

그러면 그 계수들은 다음 공식으로 주어진다. 

$$c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$

이 공식을 급수에 역으로 대입해서 f를 a에서 거듭제곱급수로 표현할 수 있으면 ...

다음과 같이 되며, 
$$\sum_{n=0}^∞ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

이 급수를 a에서 f의 테일러 급수라 한다. a=0인 특수한 경우의 테일러 급수는 

$$\sum_{n=0}^∞ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n = f(0) + \frac{ f’(0)}{1!}(x-a) + frac{ f’’(0)}{2!}(x-a)^2+frac{ f’’’(0)}{3!}(x-a)^3 +...$$ 

위와 같이 표현할 수 있으며, 이런 경우가 상당히 자주 나타나므로 매클로린 급수라고 한다. 

근본적인 의문을 가져보자.

그러면 $e^x$ 이 거듭제곱급수 표현을 갖는지의 여부는 어떻게 결정할 수 있는가?

또, 어떤 조건에서 함수가 그의 테일러 급수의 합과 같아지는가? 

다시 말해서 f가 모든 계의 도함수가 존재하면 $$f(x)= \sum_{n=0}^∞ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$  위 식이 성립하는가?

 

앞에서 급수의 부분합을 이용한 증명과 유사하다.

$$T_n(x) = \sum_{I=0}^n \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^n$$ 

일반적으로

$$f(x) =  \lim_{n \to \infty}T_n(x)$$

가 성립하면 f(x)는 그 테일러 급수의 합이다.

 

 

$$f(x) = T_n(x) + R_n(x)$$

다음과 같이 정리 할 수 있다.

$$R_n(x) = f(x) - T_n(x)$$

 

 $R_n(x)$를 테일러 급수의 나머지 라고 한다. 

$$\lim_{n \to \infty}R_n(x)=0$$

위만 보일 수 있다면 다음이 성립함을 알 수 있다. 

테일러 부등식

 

이항급수와 이항계수 : $(1+x)^k$ 이 $\left| x \right|<1$ 일 때 그 매클로린 급수의 합과 같음을 의미한다. 

 

테일러 급수가 중요한 이유 중 하나는 지금껏 적분할 수 없었던 함수들을 적분할 수 있게 된 것이다. 

ex) $\int e^{-x^2}\, dx$

 

거듭제곱급수의 곱과 나눗셈

 $e^xsinx$와 같은 곱셈을 $e^x$과 $sinx$를 분리하여 각각의 거듭제곱급수의 다항식을 곱해서 만들어 줄 수 있다.