미분적분학 2-[10.2~10.6]

10.2 급수 

 

어떤 항들을 더하기로 이룬 수식을 급수라고 한다.

무한히 어떤 항들을 더해나가는 경우에 그 급수의 수렴성을 판단할 수 있다. 

급수의 수렴성을 판단하기 위해 부분합이 쓰인다. 

$s_1 = a_1$

$s_2 = a_1 + a_2$

$s_3 = a_1 + a_2 + a_3$

$s_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$

$s_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + ... + a_n$

부분합이라는 이름의 수열 s_n 이 수렴하고 그 수렴값이 실수로 존재할 때 급수 $\sum_{n=1}^∞ a_n$ 은 수렴한다고 한다.

유사하게 부분합의 수열 $s_n$ 이 발산할 때 급수는 발산한다고 한다. 

 

따라서 급수의 합은 부분합 수열의 극한이다. 

 

무한급수의 대표적 예로 기하급수가 있다. $s_n = a(1-r^{n})/(1-r)$

단, ㅣ r ㅣ < 1 일 때만 수렴한다. 그때의 합 = a / ( 1 - r )

 

* 조화급수는 발산한다.

증명 ) $s_2^{n} > 1 + n/2 $

부분합이라는 이름의 수열 s_n 이 수렴하고 그 수렴값이 실수로 존재할 때 급수 $\sum_{n=1}^∞ a_n$ 은 수렴한다고 한다.

유사하게 부분합의 수열 $s_n$ 이 발산할 때 급수는 발산한다고 한다. 

 

따라서 급수의 합은 부분합 수열의 극한이다. 

#무한급수의 중요한 예로 기하급수(geometric series)가 있다. 

기하급수 공식 =$s_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ 

n->∞  일 때 -1<r<1 일 때 공식 있다. 알지?

그 밖의 범위에 r이 있다면 발산하겠지

#정리 급수
$\sum_{i=1}^{\infty} a_i$이 수렴하면 $\lim_{n \to \infty}a_n=0$이다. 
*역은 참이 아니지만 그 대우는 참이다!

 

10.3 적분판정법과 합의 추정

 

배경 : 위와 다르게 일반적으로는 급수의 정확한 합을 구하는 것은 어렵다. 기하급수나 특수한 경우에 각 경우에 대한 n번째 부분합 $s_n$에 대한 간단한 공식을 찾을 수 있기 때문에 정확한 합을 구할 수 있다. 그러나 일반적으로 그런 식을 찾는 것은 어렵다. 그러므로 앞으로의 내용에서 급수의 명확한 합을 찾지 않고도 급수가 수렴하는지 혹은 발산하는지 판정할 수 있는 여러가지 판정법을 알아보겠다. 

(경우에 따라 판정법을 통해 합의 좋은 추정값을 구할 수 있다. )

 

10.3.1 적분판정법

 

이상적분과 관련된 판정법이다. 

 

#급수나 적분이 n=1 에서 시작할 필요는 없다. 또한 f가 항상 감소할 필요도 없다. f가 궁극적으로 감소한다는 사실이 중요하다. 

$f$가 [1, ∞) 에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수라 하고, $a_n = f(n)$이라 하자, 그러면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 이 수렴하기 위한 필요충분 조건은 이상적분 $\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx$이 수렴하는 것이다. 다시 말해 다음이 성립한다. 

(1) $\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx$가 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$은 수렴한다. 

(2) $\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx$가 발산하면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$은 발산한다. 

*f가 항상 감소함수일 필요는 없다. 궁극적으로 감소하면 된다. 
*적분판정법에서 급수의 합이 적분의 값과 같다고 추론해서는 안 된다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n =\frac{π^2}{6}≠ 1 = \int_{1}^{\infty} f(x)\, dx $$

# 비교할 수 있는 방향으로 써먹으면 된다. 

# p-급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$은 p>1 이면 수렴하고 p≤1 이면 발산한다. 

 

# $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\, dx$ 는 p > 1 이면 수렴하고, p ≤ 1 이면 발산한다. 

 

 

# ex) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ln n}{n} $이 수렴하는지 발산하는지 판정하여라 

이 문제는 도함수를 구해 f가 감소하는 지 알아본다. f의 감소성을 알아보면 f는 x > e 인 구간에서 감소한다. 따라서 

f가 궁극적으로 감소하기 때문에 적분판정법을 통해 발산함을 알 수 있다. 

10.3.2 급수의 합의 추정 - 적분판정법에 대한 나머지 추정

적분판정법을 이용해서 급수가 수렴하는 것을 보일 수 있다 가정하자. 그리고 이 때 이 급수의 합 s의 근삿값을 구해보자. 

근사값이 얼마나 적절한지 알기 위해서는 다음과 같이 나머지(remainder)의 크기를 추정해야 한다. 

 

$R_n=s-s_n=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3+...}$s

 

나머지 R_n은 n번째 항까지의 합 $s_n$이 전체합에 대한 근삿값으로 사용될 때 발생하는 오차이다. 

무한대로 보내면 상합과 하합이 같은 점을 유념. 위에가 우변. 아래가 좌변으로 간다. 

 

위 부등식의 각 변에 $s_n$을 더하면 $s_n + R_n=s$이므로, 

$$s_n + \int_{n+1}^{\infty} f(x)\, dx ≤ s≤ s_n + \int_{n}^{\infty} f(x)\, dx$$

이 된다. 이 구간의 중점을 s의 근삿값으로 사용하면, 오차는 기껏해야 구간 길이의 절반이 된다. 

 

#이 과정을 활용한 적분판정법의 증명과정도 있다. 교재 595page 참조.

10.4 비교판정법

10.4.1 비교판정법 

수렴과 발산여부를 알고 있는 급수와 주어진 급수를 비교하는 것이다. 

예를 들어 $\sum_{n=1}^∞ \frac{1}{2^n+1}$은 모든 부분합이 기하급수 $\sum_{n=1}^∞ \frac{1}{2^n}$ 보다 작다는 것을 알 수 있다. 이는 

이 부분합이 유계이고 증가하는 수열임을 의미한다. 따라서 수렴한다. 또한 이 급수의 합은 당근 기하급수의 합보다 작다. 

#정리하자면 알고있는 급수의 항이 알고있는 수렴하는 급수의 항보다 작으면 그 급수는 또한 수렴한다. 

 

두 급수는 모두 양의 항을 가지므로, 두 수열은 증가수열이다. 단조수열정리가 증명에 쓰인다.

비교판정법에서 모든 n에 대하여 성립할 필요는 없다. 어떤 고정된 정수 N이 존재해서  n>N 이 성립하는 것을 보이면 된다.

급수의 수렴성이 유한개의 항에 의해서는 영향을 받지 않기 때문이다.  

$\sum a_n$과 $\sum b_n$ 의 각 항이 모두 양수인 급수일 때

$\sum b_n$ 이 수렴하고, 모든 n에 대해 $a_n≤b_n$이면 $\sum a_n$도 수렴한다. 

$\sum b_n$ 이 발산하고, 모든 n에 대해 $a_n≥b_n$이면 $\sum a_n$도 발산한다. 

*논리적으로 판정하려는 급수의 항은 수렴하는 급수의 항보다 작거나 
발산하는 급수의 항보다 커야한다. 위 조건을 만족하지 않으면 비교판정법을 적용할 수 없다. 
ex) 수렴하는 것보다 크면 그게 큰 곳에서 수렴하는지 아니면 발산하는지 알 수 가 없어용!

10.4.2 극한비교판정법

$\sum a_n$ 과 $\sum b_n$의 항이 양수이고 c>0 인 유한수에 대해 다음이 성립하면 두 급수는 모두 수렴하거나 모두 발산한다.

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=c$$

 

10.4.3 합의 추정

비교판정법을 통해서 비교급수 $\sum b_n$으로 $\sum a_n$ 의 수렴성을 보인다면 나머지들을 비교해서

$\sum a_n$의 합을 추정할 수 도 있다. 

$R_n= s- s_n= a_{n+1}+a_{n+2}+...$

비교급수 $\sum b_n$에 대응하는 나머지를 생각한다.

$T_n=t-t_n=b_{n+1} + b_{n+2}+...$

모든 n에 대하여 $a_n≤b_n$ 이므로 $R_n ≤ T_n $이다. 

그러므로 $T_n$을 구할 수 있다면 R_n의 최댓값 또는 범위를 구할 수 있다. 

 

10.5 교대급수

지금까지 살펴본 수렴판정법은 양수항을 가질 때만 유용하다. 이번에는 양일 필요가 없는 음과 양이 교대로 바뀌는 

교대급수에서의 수렴판정법을 보겠다. 

교대급수판정법 :$\sum_{n=1}^∞ (-1)^{n-1}b_n$ = $b_1-b_2+b_3-b_4+b_5-b_6+..., b_n>0$
가 다음 두 조건을 만족하면 이 급수는 수렴한다. 

(1) 모든 n에 대해 $b_{n+1}≤b_n$
(2) $\lim_{n \to \infty}b_n=0$

교대 급수 추정정리 : (1) 모든 n에 대해 $b_{n+1}≤b_n$
                               (2) $\lim_{n \to \infty}b_n=0$ 

을 만족하면

$ㅣR_nㅣ=ㅣs - s_nㅣ≤b_n+1$ 이 성립한다. 

 

 

10.6 절대 수렴과 비판정법 및 근판정법

임의의 주어진 급수 $\sum a_n$ 에 대응하는 원래 급수의 각 항에 절댓값을  취한 다음과 같은 급수를 생각하자. 

$\sum_{n=1}^∞ \left| a_n \right|$= $\left| a_1 \right| +\left| a_2 \right| +\left| a_3 \right| +...$

 

절대값의 급수  $\sum \left| a_n \right|$ 이 수렴할 때, 급수 $\sum a_n$ 은 절대 수렴(absolutely convergent)한다고 한다. 

 

# 정리 급수 $\sum a_n$ 이 절대 수렴하면 그 급수는 수렴한다. 

# 비판정법 (3) 의 경우에는 수렴 또는 발산에 관해 결론을 내릴 수 없다. 

 

 

 

10.7 급수판정을 위한 전략 

10.8 거듭제곱급수 (power series)

거듭제곱급수 a.k.a. 멱급수